Question

設f（x）=

∫

1 0

 |x²-a²|dx．
（1）當0≤a≤1與a＞1時，分別求f（a）；
（2）當a≥0時，求f（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)a的范圍，可以將被積函數(shù)的絕對值去掉，然后找出被積函數(shù)的原函數(shù)，直接計算定積分即可；
（2）由（1）可知討論a，計算相應的定積分，就函數(shù)f（a）利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進而求函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）0≤a≤1時，
f（a）=

∫

1 0

 |x²-a²|dx
=

∫

a 0

 （a²-x²）dx+

∫

1 a

 （x²-a²）dx
=（a²x-

1

3

x³）

.

a 0

+（

x3

3

-a²x）

.

1 a

=a³-

1

3

a³-0+0+

1

3

-a²-

a3

3

+a³
=

4

3

a³-a²+

1

3

．
當a＞1時，
f（a）=

∫

1 0

 （a²-x²）dx
=（a²x-

1

3

x³）

.

1 0

=a²-

1

3

．
∴f（a）=

4 3 a3-a2+ 1 3 (0≤a≤1) a2- 1 3 (a＞1).

（2）當a＞1時，由于a²-

1

3

在[1，+∞）上是增函數(shù)，故f（a）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=1-

1

3

=

2

3

．
當a∈[0，1]時，f′（a）=4a²-2a=2a（2a-1），
由f′（a）＞0知：a＞

1

2

或a＜0，
故在[0，

1

2

]上遞減，在[

1

2

，1]上遞增．
因此在[0，1]上，f（a）的最小值為f（

1

2

）=

1

4

．
綜上可知，f（x）在[0，+∞）上的最小值為

1

4

．

點評：本題考查了定積分的基本運算，分類討論思想，以及函數(shù)的導數(shù)法判斷函數(shù)單調性求函數(shù)最值的方法，是高考的常考知識點．