Question

在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合（如圖）．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．
（I）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；
（II）當時，求折痕長的最大值；
（Ⅲ）當-2≤k≤-1時，折痕為線段PQ，設t=k（2|PQ|²-1），試求t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分情況討論斜率表示直線的方程
（2）表示出線段后，分類討論求最值
（3）表示線段，用均值不等式求最值
解答：解：（1）①當k=0時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程
②當k≠0時，將矩形折疊后A點落在線段DC上的點記為G（a，1），
所以A與G關于折痕所在的直線對稱，
有k_OG•k=-1⇒⇒a=-k
故G點坐標為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點坐標
（線段OG的中點）為
折痕所在的直線方程，即
由①②得折痕所在的直線方程為：

（2）當k=0時，折痕的長為2；
當時，折痕直線交BC于點，交y軸于
∵
∴折痕長度的最大值為 
而
故折痕長度的最大值為  
（3）當-2≤k≤-1時，折痕直線交DC于，交x軸于
∵
∴
∵-2≤k≤-1
∴（當且僅當時取“=”號）
∴當時，t取最大值，t的最大值是．
點評：本題考察內容比較綜合，考察了求直線方程、求函數的最值、均值不等式、數形結合和分類討論思想，屬難題