Question

已知函數(shù)在x=-3和x=2處取得極值，問(wèn)：當(dāng)c為何值時(shí)，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立？

Answer 1

解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²+（b-8）x-（a+ab）
∵函數(shù)在x=-3和x=2處取得極值
∴-3和2是方程f′（x）=ax²+（b-8）x-（a+ab）=0的兩根
∴
∴a=-3，b=5，…（6分）
∴不等式ax²+bx+c≤0為-3x²+5x+c≤0
令g（x）=-3x²+5x+c，則g（x）圖象的對(duì)稱軸方程為，所以g（x）在上單調(diào)遞減，從而g（x）在[1，4]上也單調(diào)遞減，
故要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，則需g（x）_max=g（1）≤0，即-3+5+c≤0，解得c≤-2．
所以當(dāng)c≤-2時(shí)，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．…（12分）
分析：先由已知條件求出a=-3，b=5，再構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，確定函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的最大值是解題的關(guān)鍵．