Question

20．如圖，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，把四邊形BEFC沿直線EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若動(dòng)點(diǎn)P∈平面ADFE，設(shè)PB，PC與平面ADFE所成的角分別為θ₁，θ₂（θ₁，θ₂均不為0）．若θ₁=θ₂，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}{a^2}$
• B． $\frac{4}{9}{a^2}$
• C． $\frac{1}{4}π{a^2}$
• D． $\frac{4}{9}π{a^2}$

Answer 1

分析 先確定PE=$\frac{1}{2}$PF，再以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，求出軌跡方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，PE=BEcotθ₁，PF=CFcotθ₂，
∵BE=$\frac{1}{2}$CF，θ₁=θ₂，
∴PE=$\frac{1}{2}$PF．
以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)E（-$\frac{a}{2}$，0），F(xiàn)（$\frac{a}{2}$，0），P（x，y），則
（x+$\frac{a}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$[（x-$\frac{a}{2}$）²+y²]，
∴3x²+3y²+5ax+$\frac{3}{4}$a²=0，即（x+$\frac{5}{6}$a）²+y²=$\frac{4}{9}$a²，軌跡為圓，面積為$\frac{4}{9}π{a}^{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．