Question

已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

，如果關(guān)于x的方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程的解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值；通過對(duì)k與函數(shù)h（x）的極值的大小關(guān)系的討論得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=g（x），
∴kx=

lnx

x

，
∴k=

lnx

x2

，
令h（x）=

lnx

x2

，
∵方程f（x）=g（x）在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴h（x）=

lnx

x2

在[

1

e

，e]內(nèi)的圖象與直線y=k有兩個(gè)交點(diǎn)．
∴h′（x）=

1-2lnx

x3

，
令h′（x）=

1-2lnx

x3

=0，則x=

e

，
當(dāng)x∈[

1

e

，

e

]內(nèi)h′（x）＞0，當(dāng)x∈[

e

，e]內(nèi)h′（x）＜0，
當(dāng)x=

e

，h（x）=

1

2e

，當(dāng)x=e時(shí)，h（e）=

1

e2

，當(dāng)x=

1

e

，h（x）=-e²，
故當(dāng)k∈[

1

e2

，

1

2e

）時(shí)，該方程有兩個(gè)解．
故答案為：[

1

e2

，

1

2e

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查通過導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值、求函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，