Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，2），B（4，6），=t₁+t₂．
（1）求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；
（2）求證：當(dāng)t₁=1時(shí)，不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線；
（3）若t₁=a²，求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時(shí)，a的值．

Answer 1

解：（1）=t₁+t₂=t₁（0，2）+t₂（4，4）=（4t₂，2t₁+4t₂）．
當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，等價(jià)于，故所求的充要條件為t₂＜0且t₁+2t₂≠0．
（2）證明：當(dāng)t₁=1時(shí)，由（1）知=（4t₂，4t₂+2）．
∵=-=（4，4），=-=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂，
∴不論t₂為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)共線．
（3）當(dāng)t₁=a²時(shí)，=（4t₂，4t₂+2a²）． 又∵=（4，4），⊥，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-a²，∴=（-a²，a²）．又∵||=4，
點(diǎn)M到直線AB：x-y+2=0的距離d==|a²-1|．
∵S_△ABM=12，∴||•d=×4×|a²-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值為±2．
分析：（1）由條件求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件為橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)不等于0，得到結(jié)果．
（2）由條件求出 的坐標(biāo)，證明 等于一個(gè)實(shí)數(shù)與的乘積，即 ∥，即證明了A、B、M三點(diǎn)共線．
（3）先求出的坐標(biāo)，用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)M到直線AB的距離，由三角形面積等于12解出a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，證明三點(diǎn)共線的方法，向量的模及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，準(zhǔn)確進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．