如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點(diǎn)F（
3
，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個動點(diǎn)，A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2
3
，
故動點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．（2分）
設(shè)其方程為
x2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)，可知a=2，c=
a2-b2
=
3
，則b=1，（3分）
所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為為
x2
4
+y2=1．（4分）
（Ⅱ）存在最小值．（5分）
（�。┊�(dāng)AB為長軸（或短軸）時，可知點(diǎn)C就是橢圓的上、下頂點(diǎn)（或左、右頂點(diǎn)），
則S△ABC=
1
2
×|OC|×|AB|=ab=2．（6分）
（ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)斜率為k，則直線AB的直線方程為y=kx，設(shè)點(diǎn)A（xA，yA），
聯(lián)立方程組
x2
4
+y2=1
y=kx
消去y得
x2A
=
4
1+4k2
，
y2A
=
4k2
1+4k2
，
由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為y=-
1
k
x，
同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)滿足
x2C
=
4k2
k2+4
，
y2C
=
4
k2+4
，則|OA|2=
4
1+4k2
+
4k2
1+4k2
=
4(1+k2)
1+4k2
，|OC|2=
4k2
k2+4
+
4
k2+4
=
4(1+k2)
k2+4
，（8分）
則S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=|OA|2=
4(1+k2)
1+4k2
×
4(1+k2)
k2+4
=
4(1+k2)
(1+4k2)(k2+4)
．（9分）
由于
(1+4k2)(k2+4)
≤
(1+4k2)+(k2+4)
2
≤
5(1+k2)
2
，
所以S△ABC=2S△OAC≥
4(1+k2)
5(1+k2)
2
=
8
5
，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4，即k2=1時取等號．
綜合（�。áⅲ�(dāng)k2=1時，△ABC的面積取最小值
8
5
，（11分）
此時
x2C
=
4k2
k2+4
=
4
5
，
y2C
=
4
k2+4
=
4
5
，即xC=±
2
5
5
，yC=±
2
5
5
，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(
2
5
5
，
2
5
5
)，(
2
5
5
，-
2
5
5
)，(-
2
5
5
，
2
5
5
)，(-
2
5
5
，-
2
5
5
)．（13分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
，且過點(diǎn)(4，-
10
)，
（1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線系kx-y-3k+m=0（其中k為參數(shù)）所過的定點(diǎn)M恰在雙曲線上，求證：F1M⊥F2M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點(diǎn)到長軸的兩個端點(diǎn)的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標(biāo)原點(diǎn)O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點(diǎn)．設(shè)原點(diǎn)O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當(dāng)d=1時
1
a2
+
1
b2
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)P是圓x2+y2=2上的動點(diǎn)，PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點(diǎn)，且|PD|=
2
|MD|，點(diǎn)A、F1的坐標(biāo)分別為（0，
2
），（-1，0）．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求|MA|+|MF1|的最大值，并求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點(diǎn)是A（3，0）、B（6，0），與y軸的交點(diǎn)是C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P（x，y）（0＜x＜6）是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線BC于點(diǎn)Q．
①當(dāng)x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少？
②是否存在這樣的點(diǎn)P，使∠OQA為直角？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

對于直線L：y=kx+1是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得L與雙曲線C：3x2-y2=1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱？若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦點(diǎn)的直線x+y-
3
=0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為
1
2
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=(x，0)，
b
=(1，y)，且(
a
+
3
b
)⊥(
a
-
3
b
)．
（1）求點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程，且畫出軌跡C的草圖；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與上述曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求實(shí)數(shù)k和m所滿足的條件；
（3）在（2）的條件下，若另有定點(diǎn)D（0，-1），使|AD|=|BD|，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，中，，以為直徑的半圓分別交于點(diǎn)，若，則=_______.

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同步練習(xí)冊答案