Question

在正四面體A-BCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AB與DE所成角的余弦值；
（2）求異面直線BF與DE所成角的余弦值；
（3）求異面直線AB與CD所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，取AC中點(diǎn)G，連結(jié)EG，DG，得∠EGD是異面直線AB與DE所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線AB與DE所成角的余弦值．
（2）連結(jié)CF，取CF中點(diǎn)H，連結(jié)EH，DH，得∠EHD是異面直線BF與DE所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線BF與DE所成角的余弦值．
（3）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，BO，推導(dǎo)出CD⊥平面ABO，由此能求出異面直線AB與CD所成角的大�。�

解答： 解：（1）設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，
取AC中點(diǎn)G，連結(jié)EG，DG，
∵E是BC中點(diǎn)，G是AC中點(diǎn)，∴EG∥AB，
∴∠EGD是異面直線AB與DE所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵DE=DG=

1- 1 4

=

3

2

，EG=

1

2

AB=

1

2

，
∴cos∠DGE=

( 3 2 )2+( 1 2 )2-( 3 2 )2

2× 3 2 × 1 2

=

3

6

．
∴異面直線AB與DE所成角的余弦值為

3

6

．
（2）連結(jié)CF，取CF中點(diǎn)H，連結(jié)EH，DH，
∵E是BC中點(diǎn)，H是CF中點(diǎn)，∴EH∥BF，
∴∠EHD是異面直線BF與DE所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵DE=

3

2

，EH=

1

2

BF=

3

4

，DH=

1 4 + 3 16

=

7

4

，
∴cos∠EHD=

3 16 + 7 16 - 3 4

2× 3 4 × 7 4

=-

21

21

，
∴異面直線BF與DE所成角的余弦值為

21

21

．
（3）取CD中點(diǎn)O，連結(jié)AO，BO，
∵AD=AC，BD=BC，∴AO⊥CD，BO⊥CD，
∴CD⊥平面ABO，∴CD⊥AB，
∴異面直線AB與CD所成角的大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．