Question

給出下列四個(gè)命題
①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個(gè)零點(diǎn)；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0．
其中正確的命題有    （填所有正確的序號(hào)）

Answer 1

【答案】分析：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；可由全稱命題的否定的書寫規(guī)則判斷其真假；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個(gè)零點(diǎn)；可由函數(shù)的圖象特征進(jìn)行判斷；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4；可由基本不等式將方程轉(zhuǎn)化關(guān)于a+b不等式，再解不等式求出a+b的最小值，進(jìn)行驗(yàn)證；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，此命題的真假可由函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及函數(shù)的單調(diào)性與偶函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．
解答：解：①命題“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一個(gè)真命題，由于原命題是一個(gè)全稱命題，故其否定是一個(gè)特稱命題；
②若0＜a＜1，則f（x）=x²+a^x-3只有一個(gè)零點(diǎn)是個(gè)假命題，由于x=0時(shí)，f（0）＜0，x趨向于負(fù)無(wú)窮大與正無(wú)窮大時(shí)函數(shù)值都是正數(shù)，故此函數(shù)至少有兩個(gè)零點(diǎn)；
③若lga+lgb=lg（a+b），則a+b的最小值為4是個(gè)真命題，由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤解得a+b≥4，故a+b的最小值為4；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），且當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，則當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，是個(gè)真命題，由對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=f（x），知此函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，x＞0時(shí)，f'（x）＞0，知函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，故在（-∞，0）上是減函數(shù)，所以有x＜0時(shí)，f'（x）＜0，
綜上證明知①③④是真命題
故答案為：①③④
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假判斷與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握每個(gè)命題所涉及的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，本題中②③兩個(gè)命題的真假判斷是個(gè)難點(diǎn)，其中②的判斷用到了特殊值法，③的判斷技巧性較強(qiáng)，解題時(shí)對(duì)此類技巧要注意掌握