Question

4．已知平面上的點集A及點P，在集合A內任取一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到集合A的距離，記作d（P，A），如果A={（x，y）|x²+y²=1}，點P坐標為$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，那么d（P，A）=2；如果點集A所表示的圖象是半徑為2的圓，那么點集D={P|d（P，A）≤1}所表示的圖形的面積為8π．

Answer 1

分析 集合A={（x，y）|x²+y²=4}表示圓心為O，半徑r為2的圓上所有點，且P在圓外，則有d（P，A）=|PO|-r，計算即可得到．對于D={P|d（P，A）≤1}，討論P在圓上和圓外及圓內，得到P的軌跡，運用圓的面積公式計算即可得到．

解答 解：集合A={（x，y）|x²+y²=4}表示圓心為O，半徑r為2的圓上所有點，
點P的坐標為$（2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，由|PO|=4＞2，即有P在圓外，
那么d（P，A）=|PO|-r=4-2=2，
如果點集A所表示的圖形是半徑為2的圓，
若點P在圓上滿足集合D，
P在圓外，則為介于圓心為O，半徑分別為2，3的圓環(huán)，
其面積為9π-4π=5π，
P在圓內，則為介于圓心為O，半徑分別為1，2的圓環(huán)，
其面積為4π-π=3π，
那么點集D={P|d（P，A）≤1}所表示的圖形的面積為5π+3π=8π．
故答案為：2，8π．

點評 本題考查點和圓的位置關系，主要考查兩點距離的最小值，理解點P到集合A的距離的新定義，并運用是解題的關鍵．