Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+3．
（Ⅰ）求過點（3，3）與曲線f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+

3

2

kx²-6kx-

13

2

（k＞0）有且只有一個零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）設(shè)切點為（x，y），則可得切線的斜率，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點x處的切線斜率，便可建立關(guān)于x的方程．從而可求方程；
（Ⅱ）求導數(shù)，利用函數(shù)g（x）=x³-3x²+3+

3

2

kx²-6kx-

13

2

（k＞0）有且只有一個零點，可得g（2）g（-k）＞0或k=-2，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）若直線與曲線切于點（x，y）（x≠0），則k=

y-3

x-3

=x²，
∵y′=3x²-6x，
∴x²=3x²-6x，
∴x=0，或x=3，
∴過點（3，3）與曲線f（x）相切的直線方程為y-3=0或9x-y-24=0．
（Ⅱ）g′（x）=3x²-6x+3kx-6k=3（x-2）（x+k），
∵函數(shù)g（x）=x³-3x²+3+

3

2

kx²-6kx-

13

2

（k＞0）有且只有一個零點，
∴g（2）g（-k）＞0，
∴（-6k-7.5）（0.5k³+3k-3.5）＞0，
∴-

5

4

＜k＜1．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查求實數(shù)k的取值范圍，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．