已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|
PC
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BC
|=
PB
•
CB
．
（1）求點P的軌跡C對應(yīng)的方程；
（2）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1•k2=2．求證：直線DE過定點，并求出這個定點．
分析：（1）設(shè)出P點坐標(biāo)，求出
PC
，
BC
的坐標(biāo)，代入滿足|
PC
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BC
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PB
•
CB
整理即可得到點P的軌跡C對應(yīng)的方程；
（2）把A的坐標(biāo)代入點P的方程求出m的值，設(shè)出DE的方程，和拋物線方程聯(lián)立后得到D、E兩點橫坐標(biāo)的和與積，再由兩點的斜率之積等于2得到關(guān)系式，和根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合后可得直線DE的斜率和截距的關(guān)系，代回直線方程后利用直線系方程得到證明．
解答：（1）解：設(shè)P（x，y），代入足|
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PB
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CB
，得
(x-1)2+y2
=1+x，化簡得y2=4x；
（2）證明：將A（m，2）代入y2=4x，得m=1，
設(shè)直線DE的方程為y=kx+b，D（x1，y1），E（x2，y2）
由
y=kx+b
y2=4x
，得k2x2+2（kb-2）x+b2=0，
∵kAD•kAE=2，∴
y1-2
x1-1
•
y2-2
x2-1
=2(x1，x2≠1)，
且y1=kx1+b，y2=kx2+b，∴(k2-2)x1x2+(kb-2k+2)(x1+x2)+(b-2)2-2=0①
將x1+x2=
-2(kb-2)
k2
，x1x2=
b2
k2
代入①得，b2=（k-2）2，∴b=±（k-2）．
將b=k-2代入y=kx+b得，y=kx+k-2=k（x+1）-2，過定點（-1，-2）．
將b=2-k代入y=kx+b得，y=kx+2-k=k（x-1）+2，過定點（1，2），不合，舍去，
∴定點為（-1，-2）．
點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了“設(shè)而不求”的解題思想方法，考查了直線系方程的運用，是有一定難度題目．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點P（x1，y1）、Q（x2，y2），定義：d（P，Q）=|x1-x2|+|y1-y2|． 已知點B（1，0），點M為直線x-2y+2=0上的動點，則使d（B，M）取最小值時點M的坐標(biāo)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|
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（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）直線l過點（-4，4
3
）且與動點P的軌跡交于不同兩點M、N，直線OM、ON（O是坐標(biāo)原點）的傾斜角分別為α、β．求α+β的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點B（1，0）是向量
a
的終點，向量
b
，
c
均以原點O為起點，且
b
=（-3，-4），
c
=（1，1）與向量
a
的關(guān)系為
a
=3
b
-2
c
，求向量
a
的起點坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點B（-1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足|
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（Ⅰ）求點P的軌跡C對應(yīng)的方程；
（Ⅱ）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD和AE，且AD⊥AE，判斷：直線DE是否過定點？并證明你的結(jié)論．

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