Question

已知函數(shù)(為實(shí)數(shù))有極值，且在處的切線與直線平行．

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的極小值為，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）設(shè),的導(dǎo)數(shù)為,令

求證：

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)存在.  (3)略

【解析】

（1）根據(jù)極值的信息，則選用導(dǎo)數(shù)法，先求f'（x），再由f（x）有極值，可有=a2-4b＞0，又由在x=-1處的切線與直線x-y+1=0平行，可得f'（-1）=1-a+b=1從而求解

（2）先假存在，則根據(jù)條件，則有關(guān)于a的不等式，進(jìn)而得到范圍。

（3）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的思想求解函數(shù)的最值得到證明

(1)∵,∴，

由題意∴，     ①      ……2分

∵有極值，∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．

∴、    ∴．    ②

由①、②可得，．   ∴或．

故實(shí)數(shù)的取值范圍是  …2分

(2)存在.……………1分   

由(1)令，

 

∴時(shí)，取極小值，則=,

∴……………………………………………………2分

若，即則 (舍)．……………………1分

若

∴存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)的極小值為1   ………1分

(3)∵,

  ……．l分

∴其中等號(hào)成立的條件為………………3分