Question

已知橢圓C：（a＞b＞0）的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點
構成等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（4，0）且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓C于A、B兩點，設點A關于x軸的對稱點為A₁．
（�。┣笞C：直線A₁B過x軸上一定點，并求出此定點坐標；
（ⅱ）求△OA₁B面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)焦點坐標求得c，根據(jù)橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．求得a和c的關系式，進而求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）（i）設出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去x，設出A，B的坐標，則可利用韋達定理求得y₁y₂和y₁+y₂的表達式，根據(jù)A點坐標求得關于x軸對稱的點A₁的坐標，設出定點，利用TB和TA₁的斜率相等求得t．
（ii）由（i）中判別式△＞0求得m的范圍，表示出三角形OA₁BD面積，利用m的范圍，求得m的最大值，繼而求得三角形面積的范圍．
解答：解：（Ⅰ）因為橢圓C的一個焦點是（1，0），所以半焦距c=1．
因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構成等邊三角形．
所以，解得a=2，b=所以橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）（i）設直線l：x=my+4與聯(lián)立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0．
記，．
由A關于x軸的對稱點為A₁，得A₁（x₁，-y₁），
根據(jù)題設條件設定點為T（t，0），得，即．
所以=即定點T（1，0）．

（ii）由（i）中判別式△＞0，解得|m|＞2．可知直線A₁B過定點T（1，0）．
所以|OT||y₂-（-y₁）|=，
得，
令t=|m|記，得，當t＞2時，φ^′（t）＞0．
在（2，+∞）上為增函數(shù)．所以，
得．故△OA1B的面積取值范圍是．
點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關系、不等式的解法等基本知識，考查運算求解能力和分析問題、解決問題的能力．