Question

過(guò)點(diǎn)（1，2）總可以作兩條直線(xiàn)與圓 x²+y²+kx+2y+k²-15=0 相切，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，根據(jù)構(gòu)成圓的條件得到等號(hào)右邊的式子大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，然后由過(guò)已知點(diǎn)總可以作圓的兩條切線(xiàn)，得到點(diǎn)在圓外，故把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中得到一個(gè)關(guān)系式，讓其大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，綜上，求出兩解集的并集即為實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+

1

2

k）²+（y+1）²=16-

3

4

k²，
所以16-

3

4

k²＞0，解得：-

8 3

3

＜k＜

8 3

3

，
又點(diǎn)（1，2）應(yīng)在已知圓的外部，
把點(diǎn)代入圓方程得：1+4+k+4+k²-15＞0，即（k-2）（k+3）＞0，
解得：k＞2或k＜-3，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-

8 3

3

，-3）∪（2，

8 3

3

）．
故答案為：（-

8 3

3

，-3）∪（2，

8 3

3

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，二元二次方程為圓的條件及一元二次不等式的解法．理解過(guò)已知點(diǎn)總利用作圓的兩條切線(xiàn)，得到把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程其值大于0是解本題的關(guān)鍵．