(1)證明線段是圓的直徑;
(2)當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí),求的值.
本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程,點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
(Ⅰ)證法一:∵.
∴,即
2+2·+2=2-2·+2.整理得
·=0,
∴x1x3+y1y3=0. ①
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則
·=0,
即
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
展開(kāi)上式并將①代入得
x3+y2=(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
故線段AB是圓C的直徑.
證法二:∵|+|=|-|,
∴(+)2=(-)2,即
2+2·+2=2-2·+2.整理得
·=0,
∴x1x2+y1y2=0. ①
若點(diǎn)(x,y)在以線段AB為直徑的圓上,則
=-1,(x≠x1,x≠x2)
去分母得
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
點(diǎn)(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1),(x2,y2)滿足上方程,展開(kāi)并將①代入得
x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
所以線段AB是圓C的直徑.
證法三:∵|+|=|-|,
∴(+)2=(-)2,即
2+2·+2=2-2·+2,整理得
·=0,
∴x1x2+y1y2=0. ①
以AB為直徑的圓的方程是
(x-)2+(y-)2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2],
展開(kāi),并將①代入得
x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,
所以線段AB是圓C的直徑.
(Ⅱ)解法一:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
∵y12=2px1,y22=2px2(p>0),
∴x1x2=,
又∵x1x2+y1y2=0.
∴x1x2=-y1y2,
∴-y1y2=,
∵x1x2≠0,
∴y1y2≠0,
∴y1y2=-4p2.
∴x=
=
=.
所以圓心的軌跡方程為:
y2=px-2p2.
設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則
d=
=
=.
當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得
,
∴p=2.
解法二:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
∵y12=2px1,y22=2px2(p>0),
∴x1x2=.
又∵x1x2+y1y2=0,
∴x1x2=-y1y2,
∵x1x2≠0,
∴y1y2=-4p2,
∵x=
=)
=
=.
所以圓心的軌跡方程為
y2=px-2p2.
設(shè)直線x-2y+m=0與x-2y=0的距離為,則
m=±2.
因?yàn)閤-2y+2=0與y2=px-2p2無(wú)公共點(diǎn),
所以當(dāng)x-2y-2=0與y2=px-2p2僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到x-2y=0的距離最小,最小值為.
將②代入③得
y2-2py+2p2-2p=0.有
△=4p2-4(2p2-2p)=0.
∵p>0,
∴p=2.
解法三:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則
若圓心C到直線x-2y=0的距離為d,那么
d=.
∵y12=2px1,y22=2px2(p>0),
∴x1x2=.
又∵x1x2+y1y2=0,
∴x1x2=-y1y2,
∵x1x2≠0,
∴y1y2=-4p2.
∴d=
=
=.
當(dāng)y1+y2=2p時(shí),d有最小值,由題意得
,
∴p=2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(06年遼寧卷)(14分)
已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量滿足,設(shè)圓的方程為.
(1)證明線段是圓的直徑;
(2)當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(I) 證明線段是圓的直徑;
(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí),求P的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為
(I) 證明線段是圓的直徑;
(II)當(dāng)圓C的圓心到直線的距離的最小值為時(shí),求P的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(I) 證明線段是圓的直徑;
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