如圖所示:m個(gè)實(shí)a1a2…,am(m≥3且m∈N)依次按順時(shí)針?lè)较驀梢粋(gè)圓圈.
(1)已知a1=1且an+1=an+
1m(n+1)
(n∈N,n<m),若am>1.99恒成立,求m的最小值;
(2)設(shè)圓圈上按順時(shí)針?lè)较蛉我庀噜彽娜齻(gè)數(shù)ap、aq、ar均滿(mǎn)足:aq=λap+ar(λ>0),求證:a1=a2=…=am
分析:(1)由a1=1且an+1=an+
1
m(n+1)
(n∈N,n<m),推導(dǎo)出am=2-
1
m
,由此能求出m的最小值.
(2)由aq=λap+(1-λ)ar(λ>0),得λ(ap-aq)=(1-λ)(ar-aq),當(dāng)λ=1時(shí),a1=a2=…=am成立.當(dāng)λ≠1時(shí),ar-aq=
λ
1-λ
(aq-ap)
,由此利用分類(lèi)討論思想能夠證明a1=a2=…=am
解答:解:(1)∵a1=1且an+1=an+
1
m(n+1)
(n∈N,n<m),
am=a1+
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
(m-1)m

=1+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
m-1
-
1
m
=2-
1
m
,
∵an>1.99(m∈N+),
1
m
<0.01
,∴m>100,
于是,m的最小值為101.
(2)∵aq=λap+(1-λ)ar(λ>0),
∴λ(ap-aq)=(1-λ)(ar-aq),
當(dāng)λ=1時(shí),a1=a2=…=am成立.
當(dāng)λ≠1時(shí),ar-aq=
λ
1-λ
(aq-ap)
,
則數(shù)列{an-an-1}(2≤n≤m)是等比數(shù)列,于是:
am-am-1=(a2-a1)(
λ
1-λ
m-2,又a1-am=
λ
1-λ
(am-am-1)
,
a2-a1=
λ
1-λ
(a1-am)
,
a2-a1=(
λ
1-λ
)m(a2-a1)
,
所以
λ
1-λ
=1
,或a2-a1=0.
若a2-a1=0,則a1=a2=…=am
λ
1-λ
=1
,則λ=
1
2
,
此時(shí)數(shù)列{an}(1≤n≤m)為等差數(shù)列,設(shè)公差為d,
則am=a1+(m-1)d,am-1=a1+(m-2)d,
am=
am-1+a1
2
,∴d=0,
∴a1=a2=…=am
綜上所述:a1=a2=…=am
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用,考查推理誰(shuí)能力和計(jì)算應(yīng)用能力,綜合性強(qiáng),難度大,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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(1)已知a1=1且an+1=an+數(shù)學(xué)公式(n∈N,n<m),若am>1.99恒成立,求m的最小值;
(2)設(shè)圓圈上按順時(shí)針?lè)较蛉我庀噜彽娜齻(gè)數(shù)ap、aq、ar均滿(mǎn)足:aq=λap+ar(λ>0),求證:a1=a2=…=am

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