Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，E，F(xiàn)，F(xiàn)分別是棱B₁C₁，A₁D₁，D₁D，AB的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁E⊥平面ABMN；
（2）求異面直線A₁E與MF所成的角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證A₁E⊥平面ABMN，只要在平面中找到兩條相交直線與A₁E都垂直，顯然MN與它垂直，這是因?yàn)镸N⊥平面A₁ADD₁，另一方面，AN與A₁E是否垂直，這是同一個(gè)平面中的問題，只要畫出平面幾何圖形，用平幾知識(shí)解決．（2）為（1）的應(yīng)用．

解答： （1）證明：∵AB⊥平面A₁ADD₁，而A₁E平面A₁ADD₁，
∴AB⊥A₁E．
在平面A₁ADD₁中，△AA₁N∽△A₁D₁E，∴A₁E⊥AN，
∵AN∩AB=A，∴A₁E⊥平面ABMN．
（2）解：由（1）知A₁E⊥平面ABMN，而MF?平面ABMN，∴A₁E⊥MF，
則A₁E與MF所成的角為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，考查異面直線及其所成的角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．