已知函數(shù)f(x)是正比例函數(shù),函數(shù)g(x)是反比例函數(shù),且f(1)=1,g(1)=2.
(1)求函數(shù)f(x)和g(x);
(2)判斷函數(shù)f(x)+g(x)的奇偶性.
(3)求函數(shù)f(x)+g(x)在(0,數(shù)學(xué)公式]上的最小值.

解:(1)設(shè)f(x)=k1x,g(x)=,其中k1k2≠0
則∵f(1)=1,g(1)=2,
∴k1×1=1,
∴k1=1,k2=2
∴f(x)=x,g(x)=;
(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),則h(x)=
∴函數(shù)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞)…(9分)
因為對定義域內(nèi)的每一個x,都有h(-x)=-()=-h(x)
∴函數(shù)h(x)是奇函數(shù),即函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù);
(3)由(2)知h(x)=,則
當(dāng)x∈(0,]時,h′(x)≤0,
∴函數(shù)h(x)在(0,]上單調(diào)遞減
∴x=時,h(x)取得最小值為2
即函數(shù)f(x)+g(x)在(0,]上的最小值是2
分析:(1)設(shè)出函數(shù)的解析式,利用f(1)=1,g(1)=2,即可求得結(jié)論;
(2)先確定函數(shù)的定義域,再驗證h(-x)與h(x)的關(guān)系,即可得到結(jié)論;
(3)求導(dǎo)數(shù),確定函數(shù)在(0,]上的單調(diào)性,從而可得函數(shù)在(0,]上的最小值.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式,函數(shù)的奇偶性的判斷,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法中,正確的有
 
(把所有正確的序號都填上).
①“?x∈R,使2x>3”的否定是“?x∈R,使2x≤3”;
②函數(shù)y=sin(2x+
π
3
)sin(
π
6
-2x)的最小正周期是π;
③命題“函數(shù)f(x)在x=x0處有極值,則f′(x0)=0”的否命題是真命題;
④已知函數(shù)f′(x)是函數(shù).f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù),若f(x)是偶函數(shù),則f′(x)是奇函數(shù);
1
-1
1-x2
dx
等于
π
2
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),其最小正周期為3,且x∈(0,3)時,f(x)=log2(3x+1),則f(2012)=( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•青浦區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù),數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1007>0,則f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2012)+f(a2013)的值( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),其最小正周期為3,且x∈(-
3
2
,0)
時,f(x)=log
1
2
(1-x)
,則f(2010)+f(2011)=( �。�
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),其最小正周期為4,且x∈(0,2)時,f(x)=log2(3x+1),則f(2011)=
-2
-2

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