Question

若函數(shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（2-x），且當(dāng)x≠1時(shí)其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足（x-1）f′（x）＞0，若1＜a＜2，則（ ）
A．f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）
B．f（2）＜f（log₂a）＜f（2^a）
C．f（2^a）＜f（2）＜f（log₂a）
D．f（log₂a）＜f（2^a）＜f（2）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)f（x）=f（2-x）得函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1．所以f（0）=f（2）．因?yàn)?＜a＜2所以0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4．又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)f′（x）滿足（x-1）f′（x）＞0，所以當(dāng)x＞1時(shí)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)f（x）是減函數(shù)．進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小即可．
解答：解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）對(duì)定義域R內(nèi)的任意x都有f（x）=f（2-x），
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為x=1．所以f（0）=f（2）．
因?yàn)?＜a＜2所以0＜log₂a＜1，2＜2^a＜4．
又因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)f′（x）滿足（x-1）f′（x）＞0，
所以當(dāng)x＞1時(shí)f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)f（x）是減函數(shù)．
所以f（0）＞f（log₂a），f（2^a）＞f（2）．
所以f（log₂a）＜f（2）＜f（2^a）．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題中所給的對(duì)稱軸即可比較函數(shù)值的大小，函數(shù)的性質(zhì)及其性質(zhì)的應(yīng)用通常是高考考查的熱點(diǎn)．