Question

過拋物線y²=4x的準線與對稱軸的交點作直線，交拋物線于M、N兩點，問直線的傾斜角的正切值為多少時，以線段MN為直徑的圓過拋物線的焦點？

Answer 1

解：拋物線y²=4x的準線與對稱軸的交點為（-1，0）.設直線MN的方程為y=k（x+1）.?

由得k²x²+2（k²-2）x+k²=0.?

∵直線與拋物線交于M、N兩點，?

∴Δ=4（k²-2）²-4k⁴＞0，

即k²＜|k²-2|.?

∴k²＜1，

即-1＜k＜1.?

設M（x₁,y₁），N（x₂,y₂），拋物線焦點為F（1，0）.?

∵以線段MN為直徑的圓經(jīng)過拋物線焦點，?

∴MF⊥NF.

∴=-1，

即y₁y₂+x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0.

又x₁+x₂=-,

x₁x₂=1,y₁²y₂²=16x₁x₂=16且y₁、y₂同號，?

∴=-6.?

解得k²=.∴k=±.