Question

已知數(shù)列{a_n}有a₁=a，a₂=p（p為常數(shù)），對任意的n∈N，有Sn=

n(an-a1)

2

．
（1）求a的值；    
（2）判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列；
（3）對于數(shù)列{b_n}，假如常數(shù)b滿足對任意的n∈N^*都有b_n＜b成立，則稱b為數(shù)列{b_n}的“上界”．令pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，求證：3是數(shù)列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上界”．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用S₁=a₁，分別代入可求a的值；
（2）欲判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，只需證明a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，利用Sn=

n(an-a1)

2

可證；
（3）根據(jù)定義表示出p₁+p₂+…+p_n-2n=3-2（

1

n+1

-

1

n+2

），即可證明3是數(shù)列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上界”．

解答： 解：（1）S1=a1=

a1-a1

2

=0，即a=0；  …（2分）
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=0；               …（3分）
由a₁=0得Sn=

n(an-a1)

2

，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，
于是有（n-1）a_n+1=na_n，并且有na_n+2=（n+1）a_n+1，
∴na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n，即n（a_n+2-a_n+1）=n（a_n+1-a_n），
而n是正整數(shù)，則對任意n∈N都有a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，
∴數(shù)列{a_n}是以0為首項(xiàng)，p為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是a_n=p（n-1）．…（10分）
（3）∵S_n=

n(n-1)p

2

∴pn=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

=2+2（

1

n

-

1

n+2

），
∴p₁+p₂+p₃+…+p_n-2n=2（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

）=3-2（

1

n+1

-

1

n+2

）＜3，
∴3是數(shù)列{p₁+p₂+…+p_n-2n}的“上界”．…（18分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是等差數(shù)列的確定，考查數(shù)列的綜合問題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，考查學(xué)生探究性問題的解決方法，注意體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識．