因為,所以點P為線段AC的中點,所以應(yīng)該選B。
答案:B。
【命題立意】:本題考查了向量的加法運算和平行四邊形法則,可以借助圖形解答。
解法一:(1)在直四棱柱ABCD-AB
C
D
中,取A1B1的中點F1,
連接A1D,C1F1,CF1,因為AB=4, CD=2,且AB//CD,
所以CDA1F1,A1F1CD為平行四邊形,所以CF1//A1D,
又因為E、E分別是棱AD、AA
的中點,所以EE1//A1D,
所以CF1//EE1,又因為平面FCC
,
平面FCC
,
所以直線EE//平面FCC
.
(2)因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-AB
C
D
中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC
-C的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,
,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵
∴
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
在Rt△OPF中,,
,所以二面角B-FC
-C的余弦值為
.
解法二:(1)因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,
所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因為ABCD為
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,
連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系,
,則D(0,0,0),A(,-1,0),F(
,1,0),C(0,2,0),
C1(0,2,2),E(,
,0),E1(
,-1,1),所以
,
,
設(shè)平面CC1F的法向量為
則
所以
取
,則
,所以
,所以直線EE
//平面FCC
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2),設(shè)平面BFC1的法向量為
,則
所以
,取
,則
,
,
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以,由圖可知二面角B-FC
-C為銳角,所以二面角B-FC
-C的余弦值為
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關(guān)系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應(yīng)用向量知識解答問題的能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)(天津卷解析版) 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,
于是
,所以
(2) ,
設(shè)平面PCD的法向量
,
則,即
.不防設(shè)
,可得
.可取平面PAC的法向量
于是
從而
.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點E的坐標為(0,0,h),其中,由此得
.
由,故
所以,,解得
,即
.
解法二:(1)證明:由,可得
,又由
,
,故
.又
,所以
.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由
,
,可得
.
因此,從而
為二面角A-PC-D的平面角.在
中,
,由此得
由(1)知
,故在
中,
因此所以二面角
的正弦值為
.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故
或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故
.在
中,
故
在中,由
,
,
可得.由余弦定理,
,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)(北京卷解析版) 題型:解答題
如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,AB上的點,且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1) 求證:A1C⊥平面BCDE;
(2) 若M是A1D的中點,求CM與平面A1BE所成角的大小;
(3) 線段BC上是否存在點P,使平面A1DP與平面A1BE垂直?說明理由
【解析】(1)∵DE∥BC∴
∴
∴
∴
又∵
∴
(2)如圖,以C為坐標原點,建立空間直角坐標系C-xyz,
則
設(shè)平面的法向量為
,則
,又
,
,所以
,令
,則
,所以
,
設(shè)CM與平面所成角為
。因為
,
所以
所以CM與平面所成角為
。
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