Question

若函數(shù)f（x）=x²+（m+1）x+1在區(qū)間[0，2]上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)m=0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)f（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出m的值．當(dāng)f（x）在[0，2]上有
兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求出m的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+x+1，在區(qū)間[0，2]上沒有零點(diǎn)，不滿足條件，故舍去．
當(dāng)f（x）在[0，2]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)①

△ = (m+1)2-4=0 0≤ m+1 -2 ≤2

，或 ②

△=(m+1)2-4＞0 f(0)•f(2) ＜0

成立．
解①得 m=-3，解②得 m＜-

7

2

．
當(dāng)f（x）在[0，2]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)

△ =(m+1)2-4＞0 0≤ m+1 -2 ≤2 f(0)≥0 f(2)≥0

，解得-

7

2

≤m＜-3，
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍[-∞，-3]．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)問題，要注意函數(shù)圖象與x軸相切的情況，屬于中檔題．