精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐B-ACD中，AB=BD=CD=1，AC=
3
，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．
（Ⅰ）求證：平面BDE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）要證平面BCE⊥平面ACD，需證BE⊥面ACD，即可．
（Ⅱ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．用等體積方法求出C到面ABD的距離即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知得CE=
2
3
3
，DE=AE=
3
3
BE=
6
3
，
∴BE2+DE2=BD2，
∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∵BE?，面BDE，
∴面BDE⊥面ACD

（Ⅱ）方法一：
設(shè)C到平面ABD的距離為h，由VB-ACD=VC-ABD，
得
1
3
S△ACD•BE=
1
3
S△ABD•h
則h=
SACD•BE
S△ABD
=
3
4
•
6
3
3
4
=
6
3
．
設(shè)AC于平面ABD所成角為α，則sinα=
h
AC
=
2
3
，
∴AC與平面ABD所成角的正弦值為
2
3
．

精英家教網(wǎng)方法二：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），A（
3
2
，-
1
2
，0），
B（
3
3
，0，
6
3
），C（0，1，0），
∴
AC
=（-
3
2
，
3
2
，0），
DA
=（
3
2
，-
1
2
，0）
DB
=（
3
3
，0，
6
3
）
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=（x，y，z），
則
n•
DA
=
3
2
x-
1
2
y=0
n•
DB
=
3
3
x+
6
3
z=0

∴取n=（
2
，
6
，-1）
設(shè)AB于平面ABD所成角為αsinα=
|
AC
•n|
|
AC
|•|n|
=
6
3
•3
=
2
3
，
∴AC與平面ABD所成角的正弦值為
2
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和平面之間的位置關(guān)系，平面與平面之間的位置關(guān)系，空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)算，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐P-ABC中，D、E分別是BC、AB的中點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC，AC＞AD，PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角P-BC-A的平面角為γ，則α，β，γ的大小關(guān)系是（　�。�
A、α＜β＜γB、α＜γ＜βC、β＜α＜γD、γ＜β＜α

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱錐A-BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=
3
，BD=CD=1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形．
（1）求證：AD⊥BC．
（2）求二面角B-AC-D的大�。�
（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐V-ABC中，VA⊥平面ABC，∠ABC=90°，且AC=2BC=2VA=4．
（1）求證：平面VBA⊥平面VBC；
（2）求二面角A-VC-B的平面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AD=2，點(diǎn)E在BC上，且AE⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面ACD的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱錐A-BOC中，AO⊥面BOC，二面角B-AO-C是直二面角，OB=OC，∠OAB=
π6
，斜邊AB=4，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（1）求證：平面COD⊥平面AOB；
（2）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求：異面直線AO與CD所成角大�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案