Question

已知函數(shù)f（x）=1+sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若tanx=2，求f（x）的值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間為[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]（k∈Z）列出不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）將函數(shù)解析式分母看做“1”，以及分子中“1”利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，把tanx的值代入即可求出值．

解答：解：（1）f（x）=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，
∵ω=2，∴T=π；
令

π

2

+2kπ≤2x≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得：

π

4

+kπ≤x≤

3π

4

+kπ（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

4

+kπ，

3π

4

+kπ]（k∈Z）；
（2）由已知f（x）=

sin2x+sinxcosx+cos2x

sin2x+cos2x

=

tan2x+tanx+1

tan2x+1

∴當(dāng)tanx=2時，f（x）=

22+2+1

22+1

=

7

5

．

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，函數(shù)的值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．