Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD為等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AD=DB=
（1）若M為PC上任一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；
（2）若四棱錐P-ABCD的體積為，求AD長．

Answer 1

（1）證明：如圖，

取AD中點N，連接PN，
∵△PAD為正三角形，∴PN⊥AD，
又∵面PAD⊥面ABCD，∴PN⊥面ABCD，
又BD?面ABCD，∴PN⊥BD，
在△ABD中，∵AD=BD=，
∴
∴BD⊥AD，
又AD∩PN=N，∴BD⊥面PAD．
又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
（2）解：設(shè)AD=x，則AB=x，
過D作DG⊥AB于G，
∵△ADB為等要直角三角形，∴．
∴．
在等邊三角形PAD中，PN=．
由=，得：x=．
即AD=．
分析：（1）要證平面MBD⊥平面PAD，只要證其中一個面經(jīng)過另一個面的一條垂線即可，由題目給出的三角形PAD為等邊三角形，取AD中點N，連接PN，有PN⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，所以可得PN⊥面ABCD，則有PN⊥BD，在三角形ADB中，根據(jù)邊的關(guān)系可證AD⊥BD，利用線面垂直的判定可得BD⊥面PAD，則平面MBD⊥平面PAD；
（2）設(shè)AD長為x，在底面等腰直角三角形中，把底面平行四邊形的邊和高都用x表示，在等邊三角形PAD中，四棱錐的高PN也用x表示，代入體積公式中可求x的值．
點評：本題考查了空間中線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了面面垂直的判定，考查了學(xué)生的空間想象和思維能力，考查了棱錐的體積公式，此題是中檔題．