Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對（），使得恒成立，則稱為“S-函數(shù)”.

（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是“S-函數(shù)”；

（Ⅱ）若是一個(gè)“S-函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對；

（Ⅲ）若定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052415091601569375/SYS201205241511260937973701_ST.files/image007.png">的函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052415091601569375/SYS201205241511260937973701_ST.files/image012.png">，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)，使得 (a+x)(a-x)=b.

即x²=a²-b時(shí)，對xÎR恒成立.而x²=a²-b最多有兩個(gè)解，矛盾，

因此不是“S-函數(shù)”.……………………2分

若是“S-函數(shù)”，則存在常數(shù)a,b使得，

即存在常數(shù)對（a, 3^2a）滿足.

因此是“S-函數(shù)”……………4分

（Ⅱ）是一個(gè)“S-函數(shù)”，設(shè)有序?qū)崝?shù)對（a, b）滿足:

則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

當(dāng)a=時(shí)，tan(a-x)tan(a+x)= -cot²(x)，不是常數(shù)…5分

因此，,

則有.

即恒成立.     ……7分

即,

當(dāng),時(shí)，tan(a-x)tan(a+x)=cot²(a)=1.

因此滿足是一個(gè)“S-函數(shù)”的常數(shù)（a, b）=.…9分

(Ⅲ) 函數(shù)是“S-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對和，

于是

即,

 ，.……………………10分

 ……11分

 

因此,  ……………………………………13分

綜上可知當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052415091601569375/SYS201205241511260937973701_DA.files/image030.png">.……………14分

【解析】略