若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓
x2
4
+
y2
3
=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則
OP
•
FP
的最大值為
 
．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：設(shè)P（x，y），由數(shù)量積運(yùn)算及點(diǎn)P在橢圓上可把
OP
•
FP
表示為x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求其最大值．
解答： 解：設(shè)P（x，y），
則
OP
•
FP
=（x，y）•（x+1，y）=x2+x+y2，
又點(diǎn)P在橢圓上，所以x2+x+y2=x2+x+（3-
3
4
x2）=
1
4
x2+x+3=
1
4
（x+2）2+2，
又-2≤x≤2，
所以當(dāng)x=2時(shí)，
1
4
（x+2）2+2取得最大值為6，即
OP
•
FP
的最大值為6，
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）滿足f（x-1）+f（-x+1）=0，且有3個(gè)根，則x1+x2+x3=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，sin
π
2
x的值介于0到
1
2
之間的概率為（　�。�
A、
1
3
B、
2
π
C、
1
2
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知F1，F(xiàn)2為橢圓E的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，
3
2
）為其上一點(diǎn)，且有|PF1|+|PF2|=4
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)F1的直線l1與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F2與l1平行的直線l2與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積SABCD的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸長(zhǎng)為2
3
．點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足△PF1F2的周長(zhǎng)為6．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)（-1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得
MA
•
MB
恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為為F1（-6，0），F(xiàn)2（6，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-5，2）．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以雙曲線C的左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），離心率為
3
2
，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，圓O：x2+y2=1（O為原點(diǎn)），直線l：y=kx+m是圓O的一條切線，且直線l與橢圓M交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求△AOB的面積取最大值時(shí)直線l的斜率k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當(dāng)PD=
2
AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大�。�
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角A-PB-D的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F（0，c）（c＞0）到直線l：x-y-2=0的距離為
3
2
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為M，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N，證明：存在λ∈R，使得
MN
=λ
OF
；
（3）在（2）的條件下，若拋物線C的切線BM與y軸交于點(diǎn)R，直線AB兩點(diǎn)的連線過(guò)點(diǎn)F，試求△ABR面積的最小值．

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