Question

【題目】如圖，在三棱臺中，分別為的中點.

（1）求證：平面；
（2）若平面 ， 求平面與平面所成的角（銳角）的大小.

Answer 1

【答案】
（1）

證法一：連接DG,CO，設CD∩GF＝O，連接OH
在三棱臺DEF-ABC中，
AB=2DE,G為AC的中點
可得DF∥GC,DF=GC
所以四邊形DFCG為平行四邊形
則0為CD的中點，又H為BC的中點
所以OH∥BD

又平面平面

所以平面．

證法二
在三棱臺DEF-ABC中，
由BC=2EF,H為BC的中點
可得BH∥EF,BH = EF ,
所以四邊形BHEE為平行四邊形
可得BE∥HF;
在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，
所以GH ∥AB
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面.ABED
因為BD平面ABED
所以BD∥平面FGH

（2）解：解法一：

設AB=2,則CF=1
在三棱臺DEF-ABC中，
G為AC的中點
由
可得四邊形DGCF為平行四邊形，
DG ∥CF
C⊥平面ABC

所以DG⊥平面ABC
在△ABC中，由AB⊥BC,，G是AC中點，
所以.A B = BC. GB⊥GC
因此GB,GC,GD兩兩垂直，
以G為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系G—xyz

所以,,,
可得,
故=,

設是平面的一個法向量，則

由得

可得平面的一個法向量

應為是平面的一個法向量=，

所以COS＜,＞
所以平面與平面所成的解銳角的大小為
解法二
作HM⊥AC于點M，作MN⊥GF于點N，連接NM

由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC

所以HM⊥平面ACFD
所以∠MNH即為所求的角

在△BGC中,MH∥BG， MH二，

由
可得
從而
由平面，平面
得

因此
所以
所以平面FGH平面ACFD所成角(銳角）的大小為

【解析】（1）思路一：連接DG,CD，設CD∩GF＝O，連接OH，先證明OH∥BD，從而由直線平面平行的判定定理得BD∥平面HDF；
思路二：先證明平面FGH∥平面ABED，再由平面與平面平行的定義得到BD∥平面HDF。
（2）思路一：連接DG,CD，設CD∩GF＝O，連接OH，證明GB,GC,GD兩兩垂直，以G為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz，利用空量向量的夾角公式求解；
思路二：作HM⊥AC于點M，作MN⊥GF于點N，連接NM，證明∠MNH即為所求的角，然后在三角形中求解，
本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注意建立適當?shù)目臻g直角坐標系以及運算的準確性.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解用空間向量求直線與平面的夾角的相關知識，掌握設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補角的余角.即有：．