Question

圓C的方程是（x+2）²+（y+1）²=R²，x軸被圓C截得的弦長為2

3

．
（1）求圓C的方程；
（2）直線l：y=-x+b交圓C于A、B，且AC⊥CB，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圓的方程得到圓的圓心坐標，再由圓被x軸截得的弦長等于2

3

結合勾股定理求圓的半徑，則圓的方程可求；
（2）由AC⊥CB，CA=CB=2求出圓心到直線l：y=-x+b的距離，由點到直線的距離公式求得b的值，則直線l的方程可求．

解答：解：（1）由圓C的方程是（x+2）²+（y+1）²=R²，得圓心C（-2，-1），且圓心到x軸的距離為1，
又x軸被圓C截得的弦長為2

3

，則半弦長為

3

，由勾股定理得：R=

12+( 3 )2

=2．
∴圓C的方程為：（x+2）²+（y+1）²=4；
（2）由AC⊥CB，CA=CB=2，可知△ABC為等腰直角三角形，則AB邊上的高線為

2

，即圓心C（-2，-1）到直線
AB的距離等于

2

，由點到直線的距離公式得

|-2-1-b|

2

=

2

，解得：b=-1或b=-5．
∴所求的直線方程為y=-x-1或y=-x-5．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，訓練了點到直線的距離公式的應用，涉及直線與圓的相交問題，常用弦心距、辦弦及圓的半徑之間的關系解決，是中檔題．