Question

設

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），記f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）試用“五點法”畫出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

11π

12

]的簡圖；
（3）若對任意x∈[-

π

6

，

π

3

]時，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,平面向量數(shù)量積的運算

專題：作圖題,函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）先利用向量數(shù)量積的坐標運算寫出函數(shù)f（x）的解析式，再利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡為y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期；
（2）由（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，利用五點法，即將2x+

π

6

看成整體取正弦函數(shù)的五個關鍵點，通過列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象；
（3）令g（x）=f（x）-m，由x的范圍，求得g（x）的最小值，再求f（0），由任意x∈[-

π

6

，

π

3

]時，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，即有f（0）不大于最小值，解不等式即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），
則f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

則函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）先列表，再描點連線，可得簡圖．

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

（3）令g（x）=f（x）-m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴g（x）∈[-m，

3

2

-m]，
當2x+

π

6

=-

π

6

即x=-

π

6

時，g（x）取得最小值-m，
又f（0）=

1

2

+

1

2

=1，
對任意x∈[-

π

6

，

π

3

]時，不等式f（x）-m≥f（0）恒成立，
則1≤-m，即有m≤-1．
故實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題綜合考查了向量的數(shù)量積的坐標表示及三角變換公式的運用，三角函數(shù)的圖象畫法，及復合三角函數(shù)值域的求法，同時考查不等式的恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．