Question

已知{a_n}是公差不等于0的等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列（n∈N⁺），且a₁=b₁＞0．
（Ⅰ）若a₃=b₃，比較a₂與b₂的大小關(guān)系；
（Ⅱ）若a₂=b₂，a₄=b₄．
（�。┡袛郻₁₀是否為數(shù)列{a_n}中的某一項，并請說明理由；
（ⅱ）若b_m是數(shù)列{a_n}中的某一項，寫出正整數(shù)m的集合（不必說明理由）．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先分別表示出a₂與b₂，再分類討論，利用平均值不等式，即可比較a₂與b₂的大小關(guān)系；
（Ⅱ）（�。┯蒩₂=b₂，a₄=b₄，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項得q³-1=3（q-1），可得q=-2，令a_k=b₁₀，即a1+(k-1)d=b1q9，即可判斷b₁₀是否為數(shù)列{a_n}中的某一項；
（ⅱ）假設(shè)b_m=a_k，則4-3k=（-2）^m-1，從而可寫出正整數(shù)m的集合．

解答： 解：記{a_n}的a₁=b₁=a，{a_n}公差為d，{b_n}公比為q，由d≠0，得q≠1
（Ⅰ）∵a₁=b₁＞0，a₃=b₃，
∴a2=

a1+a3

2

=

b1+b3

2

，
∵b3=b1q2＞0，

b

2 2

=b1b3，
∴b2=±

b1b3

，
當(dāng)b2=-

b1b3

時，顯然a₂＞b₂；
當(dāng)b2=

b1b3

時，由平均值不等式

b1+b3

2

≥

b1b3

，當(dāng)且僅當(dāng)b₁=b₃時取等號，
而b₁≠b₃，所以

b1+b3

2

＞

b1b3

即a₂＞b₂．
綜上所述，a₂＞b₂．           　…（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）因為a₂=b₂，a₄=b₄，所以a+d=aq，a+3d=aq³，得q³-1=3（q-1），
所以q²+q+1=3，q=1或q=-2．
因為q≠1，所以q=-2，d=a（q-1）=-3a．
令a_k=b₁₀，即a1+(k-1)d=b1q9，
所以a-3（k-1）a=a（-2）⁹，
所以k=172，所以b₁₀是{a_n}中的一項．
（ⅱ）假設(shè)b_m=a_k，則a1+(k-1)d=b1qm-1，
∴a-3（k-1）a=a（-2）^m-1，
∴4-3k=（-2）^m-1，
當(dāng)m=1或m=2n，（n∈N^*）時，k∈N^*．
∴正整數(shù)m的集合是{m|m=1或m=2n，n∈N^*}．…（13分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查大小比較，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．