Question

(本大題滿分13分)如圖，現(xiàn)有一塊半徑為2m，圓心角為的扇形鐵皮，欲從其中裁剪出一塊內(nèi)接五邊形，使點(diǎn)在弧上，點(diǎn)分別在半徑和上，四邊形是矩形，點(diǎn)在弧上，點(diǎn)在線段上，四邊形是直角梯形．現(xiàn)有如下裁剪方案：先使矩形的面積達(dá)到最大，在此前提下，再使直角梯形的面積也達(dá)到最大.
（Ⅰ）設(shè),當(dāng)矩形的面積最大時(shí)，求的值；
（Ⅱ）求按這種裁剪方法的原材料利用率．

Answer 1

解：（Ⅰ）先求矩形面積的最大值：
設(shè)，，則，
，∴當(dāng)，即時(shí)，
此時(shí)，， ……………………6分
（Ⅱ）過Q點(diǎn)作垂足為S，設(shè)
在中，有，
則，
∴
……… 8分
令，∵，∴，
此時(shí)，則，
當(dāng)時(shí)，的最大值為  ………………………… 10分
∴方案裁剪出內(nèi)接五邊形面積最大值為   ，即利用率=……12分

略