已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右頂點為A（2，0），右焦點為F、O為坐標(biāo)原點，點F，A到漸近線的距離之比為
5
2
，過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q．
（I）求雙曲線的方程及k的取值范圍；
（II）是否存在常數(shù)k，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．
（I）由題意，a=2
根據(jù)三角形相似，可得點F，A到漸近線的距離之比為
|OF|
|OA|
=
c
a
=
5
2
，
∴c=
5
，∴b=
c2-a2
=1
∴雙曲線的方程為
x2
4
-y2=1
設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0
∵過點B（0，2）且斜率為k的直線l與該雙曲線交于不同的兩點P，Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠
1
4
且k2＜
5
4

解得-
5
2
＜k＜
5
2
且k≠±
1
2
；
（II）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=
-16k
4k2-1
，
∵
OP
+
OQ
=（x1+x2，y1+y2），
AB
=（-2，2），
OP
+
OQ
與
AB
垂直
∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0
∴（x1+x2）（k-1）+4=0
∴
-16k(k-1)
4k2-1
+4=0
∴k=
1
4

∴存在常數(shù)k=
1
4
，使得向量
OP
+
OQ
與
AB
垂直．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線的左支于A、B兩點，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點，離心率e=2，點M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請求出該定值，若不是請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點與拋物線y2=4
3
x的焦點重合，則該雙曲線的方程為
 
．

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