Question

已知圓心為C的圓方程是x²+y²-2y+m=0
（1）如果圓與直線(xiàn)y=0沒(méi)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）如果圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（0，a） （0≤a≤2），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)確定的a，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，記直線(xiàn)l的斜率為k，試求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，再由圓C與直線(xiàn)y=0沒(méi)有公共點(diǎn)，得到半徑小于圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，又列出關(guān)于m的不等式，求出不等式的解集，即可確定出實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）由圓過(guò)原點(diǎn)，將原式坐標(biāo)代入圓方程求出m的值，確定出圓的方程，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)與半徑，當(dāng)a=1時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)圓心C，三角形ABC不存在，故a不能為1，確定出a的范圍，由題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，利用三角形的面積公式表示出S，可得當(dāng)sin∠ACB最大時(shí)，S取得最大值，要使sin∠ACB=1，只需點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離等于

2

2

，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)系式，根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)，求出a的范圍，根據(jù)a的范圍分兩種情況考慮，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)求出各自k的值，即可確定出k的最大值．

解答：解：（1）由x²+y²-2y+m=0可得：x²+（y-1）²=1-m，
∵x²+（y-1）²=1-m表示圓，
∴1-m＞0，即m＜1，
又∵圓C與直線(xiàn)y=0沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴1-m＜1，即m＞0．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是0＜m＜1；
（2）∵圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴m=0，
∴圓C的方程為x²+（y-1）²=1，圓心C（0，1），半徑為1，
當(dāng)a=1時(shí)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心C，△ABC不存在，故a∈[0，1）∪（1，2]；
由題意可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+a，△ABC的面積為S，
則S=

1

2

|CA|•|CB|•sin∠ACB=

1

2

sin∠ACB，
∴當(dāng)sin∠ACB最大時(shí)，S取得最大值，
要使sin∠ACB=1，只需點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離等于

2

2

，即

|a-1|

k2+1

=

2

2

，
整理得k²=2（a-1）²-1≥0，
解得：a≤1-

2

2

或a≥1+

2

2

，
①當(dāng)a∈[0，1-

2

2

]∪[1+

2

2

，2]時(shí)，sin∠ACB最大值是1，
此時(shí)k²=2a²-4a+1，當(dāng)a=2或a=0時(shí)，k取最大值1；
②當(dāng)a∈（1-

2

2

，1）∪（1，1+

2

2

）時(shí)，∠ACB∈（

π

2

，π），
∵y=sinx是（

π

2

，π）上的減函數(shù)，
∴當(dāng)∠ACB最小時(shí)，sin∠ACB最大，
過(guò)C作CD⊥AB于D，則∠ACD=

1

2

∠ACB，
∴當(dāng)∠ACD最大時(shí)，∠ACB最小，
∵sin∠CAD=

|CD|

|CA|

=|CD|，且∠CAD∈（

π

2

，π），
∴當(dāng)|CD|最大時(shí)，sin∠ACD取得最大值，即∠CAD最大，
∵|CD|≤|CP|，∴當(dāng)CP⊥l時(shí)，|CD|取得最大值|CP|，
∴當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，直線(xiàn)l的斜率k=0，
綜上所述，k的最大值是1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及三角形的面積公式，直線(xiàn)與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．