Question

已知函數(shù)（x∈R）是奇函數(shù)，
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅲ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，由此可求得a值；
（Ⅱ）由y=1-得2^x=，由2^x＞0，得＞0，解出即得值域；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷．
解答：解：（Ⅰ）因為f（x）在R上是奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即a-=0，解得a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=1-，
由y=1-得2^x=，
因為x∈R，所以2^x＞0，所以＞0，解得-1＜y＜1，
所以f（x）的值域為（-1，1）．
（Ⅲ）f（x）在R上是增函數(shù)，
任取x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=1--1+
=．
因為x₁＜x₂，所以，-＜0，+1＞0，+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在R上是增函數(shù)．
點評：本題考查奇偶性的應用、單調(diào)性的判斷及函數(shù)值域的求解，考查學生解決問題的能力．