Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，記I_k=（2k-1，2k+1]（k∈Z）．已知x∈I_°時(shí)，f（x）=x²，如圖．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對于k∈N^*，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根}．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的周期性求函數(shù)的表達(dá)式．（2）將方程f（x）=ax轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)根的分布求a的取值集合．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）是定義在區(qū)間（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，所以f（x）=f（x-2k），
當(dāng)x∈I_k 時(shí)，（x-2k）∈I₀，所以f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²，x∈I_k．
（2）當(dāng)k∈N^*，且x∈I_k 時(shí)，方程f（x）=ax化簡為x²-（4k+a）x+k²=0，
設(shè)g（x）=x²-（4k+a）x+k²，使方程f（x）=ax在I_k上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則

△=a(a+8k)＞0 2k-1＜ 4k+a 2 ≤2k+1 g(2k-1)=1-2ak+a＞0 g(2k+1)=1-2ak-a≥0

，即

a＞0??或a＜-8k -1＜a≤1 0＜a＜ 1 2k-1 0＜a≤ 1 2k+1

，解得0＜a≤

1

2k+1

，
所以M_k={a|0＜a≤

1

2k+1

}．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)周期性的應(yīng)用，以及二次方程根的分布問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，綜合性較強(qiáng)．