Question

如圖，已知平行四邊形ABCD中，BC=2，BD⊥CD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，G，H分別是DF，BE的中點．四棱錐F-ABCD的體積的最大值（　　）

• A、4
• B、

  4

  3

• C、

  2

  3

• D、2

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)CD=a，DB=b，作DM⊥BC，垂足為M點．由于BD⊥CD，可得2h=ab，a²+b²=4，利用基本不等式的性質(zhì)可得2h=ab≤

a2+b2

2

=2，即h≤1．由于四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，可得AF⊥平面ABCD，AF=2．利用四棱錐F-ABCD的體積=

1

3

•AF•S平行四邊形ABCD即可得出．

解答： 解：設(shè)CD=a，DB=b，作DM⊥BC，垂足為M點．
又∵BD⊥CD，
∴2h=ab，a²+b²=4，
∴2h=ab≤

a2+b2

2

=2，∴h≤1．
∵四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD，
∴AF⊥平面ABCD，AF=2．
∴四棱錐F-ABCD的體積=

1

3

•AF•S平行四邊形ABCD
=

1

3

×2×2h≤

2

3

×2=

4

3

．
∴四棱錐F-ABCD的體積的最大值是

4

3

．
故選：B．

點評：本題考查了直角三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、平行四邊形的面積計算公式、面面線面垂直的判定與性質(zhì)定理、四棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．