Question

如圖所示，n臺機器人M₁，M₂，…，M_n位于一條直線上，檢測臺M在線段M₁M_n上，n臺機器人需把各自生產的零件送交/\∥處進行檢測，送檢程序設定：當M把零件送達M處時，M_i+1即刻自動出發(fā)送檢（i=1，2，…，n-1）．已知M的送檢速度為v（v＞0），且|M_iM_i+1|=1（i=1，2，…，n-1）．記|M₁M|=x，n，規(guī)定機器人送檢時間總和為f（x）．

（1）求f（x）的表達式；
（2）當n=3時，求x的值使得f（x）取得最小值；
（3）求f（x）取得最小值時，x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數解析式的求解及常用方法

專題：應用題,分類討論

分析：根據題意求出解析式，討論去掉絕對值，得到分段函數，再求最值．

解答： 解：（1）以M₁為坐標原點，M₁，M₂，…，M_n所在的直線為x軸建立數軸，則M_i的坐標為i-1，M的坐標
為x，f（x）=

1

v

(|x|+|x-1|+|x-2|+…+|x-(n-1)|)，x∈[0，n-1]．
（2）當n=3時，vf（x）=|x|+|x-1|+|x-2|=

-x+3，0＜x≤1 x+1，1＜x≤2

，
vf（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，2）上單調遞增，
又∵f（x）在x=1處取得最小值．
（3）當i≤x≤i+1（0≤i＜n-2，i∈Z）時，
vf（x）=|x|+|x-1|+|x-2|+…+|x-i|+|x-（i+1）|+…+|x-（n-1）|
=x+x-1+…+x-i-（x-（i+1））-…-（x-（n-1））
=[（i+1）x-（1+2+3+…+i）]-[（n-（i+1））x-（i+1+i+2+…+（n-1））]
=-[n-2（i+1）]x-

i(i+1)-(i+n)(n-i-1)

2

．
當0≤i＜

n

2

-1時，f（x）單調遞減；
當

n

2

-1＜i≤n-1時，f（x）單調遞增；
當i=

n

2

-1時，f（x）為常數函數，
又f（x）的函數圖象是一條連續(xù)不斷的圖象，
則①n為偶數時，f（x）在（0，

n

2

-1）內單調遞減，在（

n

2

-1，

n

2

）上為常數函數，在（

n

2

，n-1）內單調遞增；
所以，當x∈[

n

2

-1，

n

2

]時，f（x）取得最小值．
②n為奇數時，f（x）在（0，

n-1

2

）內單調遞減，在（

n-1

2

，n-1）內單調遞增；
所以，當x=

n-1

2

時，f（x）取得最小值．

點評：本題考察了分類討論求含絕對值的函數的最值．