Question

已知函數(shù)h（x）=x²，φ（x）=2elnx（其中e為自然對(duì)數(shù)）
（1）求F（x）=h （x）-φ（x） 的極值．
（2）設(shè)G（x）=h（x）-φ′（x）•（常數(shù)a＞0），當(dāng)x＞1時(shí)，求函數(shù)G（x）的單調(diào)區(qū)間，并在極值存在處求極值．

Answer 1

解：（1）∵F（x）=x²-2elnx（x＞0）
∴F′（x）=2x-2e=
當(dāng)0＜x＜時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，此時(shí)F（x）遞減，
當(dāng)x＞時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)F（x）遞增
當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）取極小值為0 …（6分）
（2）可得G（x）=x²+=x²+，
G′（x）=2x-=，…（9分）
當(dāng)0＜x＜時(shí)，G（x）遞減，當(dāng)x＞時(shí)，G（x）遞增．
由于x＞1，
若≤1時(shí)，即0＜a≤2，G（x）在（1，+∞）遞增，無(wú)極值．
若＞1時(shí)，即a＞2，G（x）在（1，）遞減，在（，+∞）遞增．
所以x=處有極小值，極小值為…（12分）．
分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求出函數(shù)的導(dǎo)涵數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義進(jìn)行判定極值即可．
（2）由題設(shè)條件知G（x）=x²+=x²+，故G′（x）=．令G′（x）=0，得x=，由此能求出F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．