Question

如圖，直三棱柱ABC-A 11C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，點D為AB的中點．
（1）求證：BC₁∥面A₁DC；
（2）若AA₁=

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，求二面角A₁-CD-B的平面角的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接AC₁，與AC₁交于點E，連接ED，由已知得DE∥BC₁，由此能證明BC₁∥面A₁DC．
（2）由已知得∠A₁DA為二面角A₁-CD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-CD-B的平面角的大�。�

解答： （1）證明：連接AC₁，與AC₁交于點E，連接ED，
則E為AC₁的中點，又點D是AB中點，
則DE∥BC₁，
而DE?平面A₁DC，
BC₁不包含于面A₁DC，
∴BC₁∥面A₁DC．
（2）解：∵二面角A₁-CD-B的平面角與二面角A₁-CD-A的平面角互補，
又∵CD⊥AB，CD⊥AA₁，
∴CD⊥面ADA₁，∴CD⊥A₁D，
∴∠A₁DA為二面角A₁-CD-A的平面角，
在Rt△A₁AD中，∵AA₁=

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=AD，
∴∠A₁DA=45°，
∴二面角A₁-CD-A的平面角的大小為45°，
∴二面角A₁-CD-B的平面角的大小為135°．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的平面角的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．