Question

設(shè)有拋物線C：y=-x²+

9

2

x-4，通過原點O作C的切線y=kx，使切點P在第一象限．
（1）求k的值；
（2）過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）切線與拋物線僅一個交點，方程組有唯一解，判別式等于0．
（2）點斜式寫出垂線方程，代入拋物線方程，求交點Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則y₁=kx₁①
y₁=-x₁²+

9

2

x₁-4②
①代入②得x₁²+（k-

9

2

）x₁+4=0．
∵P為切點，
∴△=（k-

9

2

）²-16=0得k=

17

2

或k=

1

2

．
當(dāng)k=

17

2

時，x₁=-2，y₁=-17．
當(dāng)k=

1

2

時，x₁=2，y₁=1．
∵P在第一象限，∴所求的斜率k=

1

2

．
（2）過P點作切線的垂線，其方程為y=-2x+5③
將③代入拋物線方程得x²-

13

2

x+9=0．
設(shè)Q點的坐標(biāo)為（x₂，y₂）．則x₂+2=

13

2

∴x₂=

9

2

，y₂=-4，∴Q（

9

2

，-4）

點評：本題屬于運用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求直線方程和交點坐標(biāo)問題．