Question

 [2012·四川卷] 如圖1－5，在三棱錐P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影O在AB上．

(1)求直線PC與平面ABC所成的角的大�。�

(2)求二面角B－AP－C的大�。�

圖1－5

Answer 1

解：解法一：

(1)連結(jié)OC，由已知，∠OCP為直線PC與平面ABC所成的角．

設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連結(jié)PD、CD.

因?yàn)?i>AB＝BC＝CA，所以CD⊥AB.

因?yàn)椤?i>APB＝90°，∠PAB＝60°，所以△PAD為等邊三角形．

不妨設(shè)PA＝2，則OD＝1，OP＝，AB＝4.

所以CD＝2，OC＝＝＝.

在Rt△OCP中，tan∠OCP＝＝＝.

故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arctan.

(2)過(guò)D作DE⊥AP于E，連結(jié)CE.

由已知可得，CD⊥平面PAB.

根據(jù)三垂線定理知，CE⊥PA.

所以∠CED為二面角B－AP－C的平面角．

由(1)知，DE＝.

在Rt△CDE中，tan∠CED＝＝＝2.

故二面角B－AP－C的大小為arctan2.

解法二：

(1)設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連結(jié)CD.

因?yàn)?i>O在AB上，且O為P在平面ABC上的射影，

所以PO⊥平面ABC.

所以PO⊥AB，且PO⊥CD.

由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.

設(shè)E為AC中點(diǎn)，則EO∥CD，從而OE⊥PO，OE⊥AB.

如圖，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OE、OP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.

不妨設(shè)PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝，CD＝2.

所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，C(1,2，0)，P(0,0，)．

所以＝(－1，－2，)，而＝(0,0，)為平面ABC的一個(gè)法向量，

設(shè)α為直線PC與平面ABC所成的角，

則sinα＝＝＝.

故直線PC與平面ABC所成的角的大小為arcsin.

(2)由(1)有，＝(1,0，)，＝(2,2，0)，

設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為n＝(x₁，y₁，z₁)，則

⇔⇔

從而

取x₁＝－，則y₁＝1，z₁＝1，所以n＝(－，1,1)．

設(shè)二面角B－AP－C的平面角為β，易知β為銳角．

而面ABP的一個(gè)法向量為m＝(0,1,0)，則

cosβ＝＝＝.

故二面角B－AP－C的大小為arccos.