Question

求函數(shù)y=log_0.3（2x+8-x²）的單調(diào)區(qū)間和值域.

Answer 1

解析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則(同增異減),而求值域的關(guān)鍵是先求出對(duì)數(shù)的真數(shù)的取值范圍,再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得對(duì)數(shù)值的范圍.

解：因?yàn)?x+8-x²＞0，即x²-2x-8＜0,解得-2＜x＜4，所以此函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,4），

    又令u=2x+8-x²,則y=log_0.3u.因?yàn)閥=log_0.3u為定義域上的減函數(shù),

    所以y=log_0.3（2x+8-x²）的單調(diào)性與u=2x+8-x²的單調(diào)性相反.

    對(duì)于函數(shù)u=2x+8-x²,x∈（-2,4）.

    當(dāng)x∈（-2，1]時(shí)為增函數(shù);當(dāng)x∈［1，4)時(shí)為減函數(shù).

    所以函數(shù)y=log_0.3（2x+8-x²）的增區(qū)間為［1，4),減區(qū)間為（-2，1]，

    又因?yàn)閡=2x+8-x²=-（x-1）²+9，

    所以當(dāng)x∈（-2,4）時(shí), 0＜u≤qlog_0.3u≥log_0.39,

    即函數(shù)y=log_0.3（2x+8-x²）的值域?yàn)?［log_0.39,+∞)．