Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-bx2+2x，x=2是f（x）的一個極值點．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，3]時，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（I）由f′（x）=x²-2bx+2，x=2是f（x）的一個極值點，得f′（2）=2²--4b+2=0，解得b=

3

2

，從而求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 由（1）知：f（x）在[-1，1]，[2，3]遞增，在[1，2]遞減，得f(1)=

5

6

，f(3)=

3

2

＞f(1)，從而求出區(qū)間上的最大值．

解答： 解：（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一個極值點，
∴f′（2）=2²--4b+2=0，
解得b=

3

2

，
∴f′（x）=x²-3x+2，
令f′（x）＞0，
解得x＜1或x＞2．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1），（2，+∞）；
（Ⅱ） 由（1）知：f（x）在[-1，1]，[2，3]遞增，在[1，2]遞減，
∴f(1)=

5

6

，f(3)=

3

2

＞f(1)
∴f(x)max=

3

2

．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求區(qū)間上的最值問題，是一道基礎(chǔ)題．