Question

如圖，我緝私船在海上B處發(fā)現(xiàn)一走私船在A處正沿直線AD向海岸線CD靠攏，已知AC=DC=10km，AB=BC=5km，而且走私船的速度是我緝私船速度的2倍．我緝私船可采用由海上沿直線向AD行駛在AD上進(jìn)行攔截，也可現(xiàn)沿直線AC到達(dá)C處，再換乘速度是走私船速度3倍的警車，沿直線CD到達(dá)D處攔截．請問兩種攔截方案是否可行？

Answer 1

分析：方案1：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)走私船的速度為V₁km/h，緝私船的速度為V₂km/h，假設(shè)設(shè)在AD上E處截獲走私船，根據(jù)

AE

V1

=

BE

V2

建立方程，根據(jù)方程解得情況可判定；
方案2：設(shè)警車的速度為V₃km/h，則

5

V2

+

10

V3

≤

10 2

V1

，從而得到可得采用第二種方案，需要警車速度大于等于走私船速度的（

2

+1）倍，然后根據(jù)條件進(jìn)行判定即可．

解答：解：方案1：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，10），B（0，5）
因?yàn)锳D=DC，所以AD的直線方程為y=-x+10
設(shè)走私船的速度為V₁km/h，緝私船的速度為V₂km/h，
假設(shè)設(shè)在AD上E處截獲走私船，設(shè)點(diǎn)E（x₀，10-x₀）
則

AE

V1

=

BE

V2

即

2 x0

V1

=

x 2 0 +(5-x0)2

V2

（0＜x₀≤10）
又因?yàn)閂₁=2V₂，所以3x₀²-20x₀+50=0
因?yàn)椤?400-600＜0，所以此方程無解，故方案1不可行
方案2：因?yàn)锽C=5，AD=10

2

設(shè)警車的速度為V₃km/h，則

5

V2

+

10

V3

≤

10 2

V1

又因?yàn)閂₁=2V₂，

10

V3

≤

10 2

V1

-

5

V2

=

10( 2 -1)

V1

，解得V₃≥（

2

+1）V₁．
故采用第二種方案，需要警車速度大于等于走私船速度的（

2

+1）倍，而現(xiàn)有警車速度等于走私船速度的3倍，故方案2可行．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線和圓的方程的應(yīng)用，解此類題常需將它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．在設(shè)計(jì)方案時(shí)，應(yīng)以簡便、合理為原則．