Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，F(xiàn)是CE上一點，BF⊥平面ACE，點M，N分別是CE，DE的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ABE；
（Ⅱ）求證：AE⊥BE．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵點M，N分別是CE，DE的中點，
∴MN是△CDE的中位線，∴MN∥CD．
∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB．
∴MN∥AB．
∵AB?平面ABE，MN?平面ABE，
∴MN∥平面ABE．…..（6分）
（Ⅱ）∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴BF⊥AE．
∵BC⊥平面ABE，AE?平面ACE，∴BC⊥AE．
∵BF∩BC=B，BF?平面BCE，BC?平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．
∴AE⊥BE．…..（13分）
分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質(zhì)，可得MN∥CD，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，可得CD∥AB，從而可得MN∥AB，利用線面平行的判定可得MN∥平面ABE；
（Ⅱ）利用線面垂直的性質(zhì)，可得BF⊥AE，BC⊥AE，利用線面垂直的判定，可得AE⊥平面BCE，從而可得AE⊥BE．
點評：本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，掌握線面平行，線面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．