Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，焦點(diǎn)在軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中為橢圓的離心率.過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)（在軸下方）.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線交橢圓于點(diǎn)， ，求的值；

（3）記直線與軸的交點(diǎn)為.若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)可得（2）根據(jù)投影可得，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得定值（3）先求交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，得，利用（2）韋達(dá)定理得等量關(guān)系，解出直線的斜率.

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

整理得，解得或（舍），所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)， .因?yàn)?/span>，則直線的方程為.

聯(lián)立直線與橢圓方程，

消去，得，所以.

因?yàn)?/span>，所以直線方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程，消去得，解得.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span> ，

，

所以 .

（3）在中，令，則，所以，

從而， .

因?yàn)?/span>，所以，即.

由（2）知， .

由，解得， .

因?yàn)?/span>，所以，

整理得，解得或（舍）.

又因?yàn)?/span>，所以.