Question

已知，
（1）分別就判斷m與n的大小關(guān)系，并由此猜想對(duì)于任意的a，b∈R₊，m與n的大小關(guān)系及取得等號(hào)的條件；
（2）類比第（1）小題的猜想，得出關(guān)于任意的a，b，c∈R₊相應(yīng)的猜想，并證明這個(gè)猜想．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，m=n=1，當(dāng)時(shí)，，…（2分）
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R₊，有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)；…（4分）
（2）類比第（1）小題，對(duì)于任意的a，b，c∈R₊，
猜想：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)．…（5分）
證明如下：
對(duì)于a，b，c∈R₊，要證成立，
只需證：…（7分）
即證：
即證：（*） …（9分）
∵對(duì)于a，b，c∈R₊，有
同理：，…（11分）
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等號(hào)成立，必須，
故當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立． 　…（12分）
說明：采用其它方法作答的，只是邏輯嚴(yán)密，言之有理，可以根據(jù)作答情況酌情給分．
分析：（1）當(dāng)，時(shí)，分別代入計(jì)算，從而可以猜想：任意的a，b∈R₊，有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)；
（2）類比第（1）小題，對(duì)于任意的a，b，c∈R₊，猜想：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取得等號(hào)利用分析法可以進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：本題以大小比較為載體，考查基本不等式的運(yùn)用，考查類比思想，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用基本不等式證明不等式．